Scrivere le equazioni differenziali che descrivono il moto di un pendolo in termini di posizione orizzontale (coordinata x) e posizione verticale (coordinata y).
Tali equazioni esprimono l'accelerazione orizzontale e verticale a cui il pendolo e' sottoposto. Per calcolarle, si consideri l'accelerazione di gravita' (rivolta verso il basso), scomponendola su due componenti, una nella direzione del braccio del pendolo e l'altra perpendicolare ad essa. La componente nella direzione del braccio del pendolo e' annullata dal braccio; l'altra va scomposta nelle componenti orizzontale e verticale. A queste vanno poi sommate le componenti orizzontale e verticale dell'accelerazione centripeta.
Una volta scritte le equazioni che descrivono l'accelerazione orizzontale e verticale, si scriva un programma C che calcola la traiettoria del pendolo (integrando numericamente due volte per passi deltat molto piccoli tali equazioni). Il programma e' analogo a quello gia' scritto per il moto parabolico
Ecco una possibile soluzione al problema.
Integrare le equazioni differenziali che descrivono il moto del pendolo in coordinate cartesiane permette di vedere in modo chiaro gli errori introdotti dai vari metodi di integrazione numerica:
ss)Per confronto, ecco la
soluzione basata su Octave,
riscritta per usare il vettore di stato
e usando lsode.
Notare che il moto del pendolo e' spesso descritto usando le coordinate polari e considerando piccole oscillazioni, per cui sin(x)=x. In questo esercizio, non ci interessano approssimazioni (perche' le equazioni differenziali sono risolte per via numerica) e siamo interessati alla descrizione in termini di accelerazione orizzontale e verticale (non accelerazione angolare).